В этом нам поможет банк! А именно сложные проценты в депозитах.

Предположим, вы положили немного денег в депозит и банк ежегодно начисляет проценты на эти деньги в размере 100%. Тогда через год вы будете иметь сумму в 2 раза большую чем было. Но вам не хочется ждать весь год и хотите видеть начисление процентов чуть чаще. Как же тогда быть? Допустим теперь банк начисляет проценты два раза каждые шесть месяцев, но предлагает только половину процентной ставки. Иначе говоря, вы вкладываете \(X\) денег в январе, к июню накапливается \(X\cdot(1+0.5) = 1.5X\), а к декабрю \(1.5X\cdot(1+0.5) = 2.25X\). И тогда ваша сумма увеличивается в 2,25 раза, что уже лучше чем первый вариант! Давайте пойдем дальше.

Предположим, что теперь банк предлагает 8,3% (1/12 из 100%) процентов, начисляемых каждый месяц. Тогда к концу каждого месяца ваши накопления увлечатся ровно в \(1+\frac{1}{12}\) раз. И так как месяцев у нас 12, к концу года у вас накопится \(\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.61\) раза больше денег! А если проценты будут начислятся не каждый месяц, а каждую неделю, то ваши сбережения увеличатся в \(\left(1+\frac{1}{52}\right)^{52} \approx 2.69\) раза. Это собственно и есть сложные проценты.

Давайте напишем уравнение для этого. Пусть \(n\) – количество начислений процентов в год. Тогда процентная ставка является обратной величиной к \(n\), т.е. \(\frac{1}{n}\). Не трудно понять, что количество денег к концу года увеличится в \((1 + \frac{1}{n})^n\) раз.

Так что же произойдет, если \(n\) станет действительно большим? Скажем... бесконечно большим! На этот вопрос одним из первых наткнулся и попытался ответить Якоб Бернулли, однако попытки точно вычислить предел не увенчались успехом. Только спустя 50 лет, Эйлер сумел решить задачу. Оказывается, при устремлении \(n\) в бесконечность, наша искомая величина будет все более и более походить на постоянную Эйлера \(e \approx 2.71828\). Математическим языком это записывается как:\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\]

Число \(e\) в математическом анализе

Постоянную Эйлера можно обнаружить и при дифференциировании (а значит и интегрировании). Почему это важно? Да потому-что половину физических/природных явлений, таких как:

  • Скорость роста популяции размножающихся с постоянной скоростью;
  • Скорость разрядки/зарядки конденсатора;
  • Скорость распада радиоактивного изотопа;

Можно описать с помощью линейных дифференциальных уравнений типа:\[ \frac{dx}{dt} = k \cdot x \]И если проинтегрировать это выражение, можно получить экспоненциальный рост (распад) с числом \(e\) в основании.

Стоять.

Возможно, вы уже знакомы с дифференциированием и интегрированием и готовы решить уравнение выше. А именно, вы хотите воспользоватсья фактом:\[ \int \frac{dx}{x} = \ln(x) \]Но так не интересно! Откуда берется это значение? Из таблицы интегралов? А что такое таблица интегралов? На самом деле, мы можем сами вывести этот факт. Давайте рассмотрим производную логарифма с основанием \(a\):\[ \frac{d}{dx} \log_a (x) \]По определению производной то что написано выше равно:\[\lim_{u \rightarrow 0}\left( \frac{\log_a(x+u) - \log_a(x)}{u} \right) \] \[ = \lim_{u \rightarrow 0}\left( \frac{\log_a(1+u/x)}{x\cdot u/x} \right) \] Вытащим \(x\) из лимита (т.к. он не зависит от \(h\), который в свою очередь является лишь приростом аргумента). А еще обозначим \(u/x\) как \(v\)\[ = \frac{1}{x} \lim_{v \rightarrow 0}\left( \log_a\left(1+v\right)^{1/v} \right) \]Немного реорганизуем:\[ = \frac{1}{x} \log_a \left( \lim_{v \rightarrow 0} \left(1+v\right)^{1/v} \right) \]Мне кажется, или мы такое уже видели? Заменим \( 1/v\) на \(n\) для пущей очевидности:\[ = \frac{1}{x} \log_a \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \right) \]Это же наша \(e\)-шка!\[ = \frac{1}{x} \log_a (e) \]Если \(a\) равно \(e\), тогда значение сильно упрощается и мы получаем:\[ \frac{d}{dx} \log_e (x) = \frac{1}{x} \]Этот результат прекрасен по нескольким причинам. Во-первых, мы вывели значение интеграла из таблицы, а значит мы можем взять пирожок с полочки. А во-вторых, он прост, а в математике есть негласное правило: чем проще, тем лучше. Мы можем обозначить этот особый логарифм \(\log_e(x)\) как \(\ln(x)\)

Теперь мы знаем почему\[ \int \frac{dx}{x} = \ln(x) \]А вместе с этим мы знаем почему \(e\) так часто появляется при моделировании экспоненциального роста или распада, от бактерий до радиоактивности. В общем, если кто-нибудь скажет, что математика не связана с природой – вам будет что ответить!